Циклические группы

Определение: Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде а_n при целом n с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а).

В самом деле:

     произведение двух элементов, принадлежащих Н(а), есть опять элемент H(а);

     единица принадлежит H(а);

     к каждому элементу а^m  из H(а) найдется элемент а^-m, который также принадлежит Н(а).

           Итак, H(а) - есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. Поскольку в группе Н(а)  a^m• аⁿ = a ^m+n = аⁿ •a^m, то группа Н(а) коммутативна. Мы определили понятие циклической подгруппы Н(а), порожденной некоторым элементом а данной группы G.

           Станем теперь на более абстрактную точку зрения и рассмотрим группу Н такую, что каждый ее элемент имеет вид аⁿ для некоторого фиксированного элемента а из Н и некоторого числа n. Такую группу мы назовем циклической группой, порожденной элементом а, и будем обозначать, как и ранее, Н(а). Теперь нет нужды считать, что группа Н = Н(а) содержится в какой-либо объемлющей группе.