Функциональные уравнения

С функциональными уравнениями вы уже знакомы, но возможно не знаете, что они так называются. Так, именно функциональные уравнения f(x)=f(-x), f(x+a)=f(x) задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность. Вообще, функциональное уравнение - это некоторое соотношение, из которого нужно найти неизвестную функцию. Изучать функциональные уравнения начали более двухсот лет назад, когда к ним привели некоторые задачи механики. Большой вклад внёс в изучение таких уравнений О. Коши. Мы рассмотрим один из методов решения функциональных уравнений, использующий важнейшее понятие современной алгебры – понятие группы.

Примеры

Пример 1:

Нам необходимо решить уравнение:

xf(х)+2f((х-1)/(х+1))=1.

Выполним замену х(х-1)/(х+1).

Получаем (х-1)(х+1) f(х-1)(х+1)+2f(-1/х)=1.

Наряду с выражениями f(х) и f(х-1)/(х+1) у нас появилось новое «неизвестное» - f(-1/х).

Применим ещё одну подстановку х › (-1/х).

Получим (-1/х)f(-1/х)+2f(х+1)/(1-х)=1.

Кроме f(-1/х), в уравнении появилось «нежелательное» выражение f(х+1)/(1-х).

Выполним подстановку х › (х+1)/(1-х).

Получаем уравнение (х+1)/(1-х)1(х+1)/(1-х)+2f(х) =1.  

Решением будет система, состоящая из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными f(х), f((х-1)/(х+1)),f(-1/х),f((х+1)/(1-х)).           

Обозначим буквой s функцию f(х), буквой t – f(х+1), буквой h – f(х-1). Тогда мы имеем: s;-s^-1;h/t;-t/h.

Пример 2.

Рассмотрим еще одно уравнение f(х+1)+f(х)=х. Все попытки решить его тем же способом окажутся тщетными. При замене х®х+1 появляется «неизвестное» f(х+2), и так далее. Цепочка не замыкается: мы никогда не получим линейной системы.