Определение:
Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное) множество
G, на котором определена операция умножения, т.е. определен
закон, сопоставляющий любой паре a, b элементов из G
некий элемент из G называемый произведением a и b и
обозначаемый символом a•b.
Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:
- Условие
ассоциативности. Для любых трех элементов a,
b и c множества
G
справедливо соотношение: (a•b)•с
= a•(b•c)
-
- Условие
существования нейтрального элемента. Среди элементов
множества G
имеется некоторый определенный элемент, называемый
нейтральным элементом и обозначаемый символом
1,
такой что a•1
= 1•a = a
-
- Условие
существования обратного
элемента к каждому данному элементу.
К каждому данному элементу а
множества G
можно подобрать такой элемент b
того же множества G, что a•b
= b•a = 1.
Определение:
Пусть задана какая-нибудь группа G;
тогда, если множество H,
состоящее из некоторых элементов нашей группы G,
образует группу, то группу H
называется подгруппой группы G.
Элемент
b
называется обратным
к элементу а и обозначается
а-1.
Множество
G
с определенной в нем операцией умножения,
удовлетворяющей только что перечисленным трем условиям,
называется
группой; сами эти
условия
называются аксиомами группы.
Операция
умножения, удовлетворяющая аксиомам группы, иногда называется
групповой
операцией или групповым
законом.
Пусть
в группе G, кроме указанных выше трех аксиом, оказывается
выполненным еще и следующее условие:
-
Условие коммутативности: a•b
= b•a. В этом
случае группа G
называется коммутативной
или абелевой
группой.
Группа
называется конечной, если она состоит из конечного
числа элементов; в противном случае она называется бесконечной.
Число
элементов конечной
группы называется ее порядком.
|