Икосаэдр и додекаэдр

Группа икосаэдра, к которой мы теперь переходим, наиболее интересна для нас тем, что она проста в отличие от групп диэдра, тетраэдра и октаэдра. Она разде­ляет это свойство с циклическими группами простого порядка.

Для исследования группы икосаэдра вообразим, что на сфере отмечены 12 вершин икосаэдра, 20 вершин двой­ственного ему додекаэдра и 30 точек, соответствующих се­рединам ребер икосаэдра, 12 вершин соединяются попар­но 6 диаметрами, которые мы будем кратко называть диагоналями икосаэдра. Аналогично 20 вершин додекаэд­ра соединяются 10 диаметрами - диагоналями додекаэд­ра. Наконец, введем 15 перекрестных линий, соединяю­щих середины противоположных ребер.

         Убедимся, что общее число вращений икосаэдра равно 60. В самом деле, каждая из 12  вершин остается неподвижной относитель­но 5 вращений. Таким образом, каждой из 6 диагоналей икосаэдра соответствует 4 (помимо единичного) вращения периода 5, а всего 24 таких элемента. Точно так же 10 диагоналей додекаэдра дают 10 · 2 = 20 вращений перио­да 3, а 15 перекрестных линий дают 15 вращений перио­да 2; если добавить сюда единичное преобразование, по­лучается   24 + 20 + 15 + 1 = 60,    то   есть   совокупность всех    вращений    икосаэдра.    Из    перечисленных    вра­щений     15    элементов     периода     2    и    аналогично  20 элементов    периода  3    образуют    один    класс    сопря­женных   элементов,  поскольку   15  перекрестных   линий, как и 10 диагоналей додекаэдра, переводятся друг в друга нашей группой, а вращения на угол 2p/3 и 4p/3 перехо­дят друг в друга  при  перестановке  полюсов  вращения. Аналогичные   рассмотрения   показывают,   что   вращения периода 5 распадаются на 2 класса сопряженных элемен­тов по 12 вращений в каждом. Первый класс содержит повороты на углы ±2p/5, а второй - на углы ±4p/5 во­круг диагоналей икосаэдра. На основе полученных дан­ных мы можем перечислить все циклические подгруппы, содержащиеся   в группе   икосаэдра. А именно, имеется 15 подгрупп порядка 2, 10 подгрупп порядка 3 и 6 под­групп порядка 5; циклические подгруппы одинакового по­рядка попарно сопряжены.

         Этого достаточно для доказательства простоты группы икосаэдра. А именно, если бы нормальная подгруппа су­ществовала, она содержала бы либо все, либо ни одной из циклических подгрупп порядка 2 (поскольку они сопря­жены друг другу). То же самое справедливо относительно циклических подгрупп порядка 3 и 5. Но в этих под­группах содержатся, не считая единицы, соответственно 15, 20 или 24 элемента. Если обозначить символами h, h' и h''  три  числа,  которые могут равняться 0 или 1, то порядок предполагаемой нормальной подгруппы равен 1 + 15h + 20h' + 24h'' . По этот порядок должен быть делителем порядка всей группы, т. е. числа 60, откуда с необходимостью либо h = h' = h'' = 0 и подгруппа еди­ничная, либо h= h'=h''=1 и подгруппа совпадает со всей группой. Мы доказали, что группа икосаэдра проста.

        Что касается остальных, нециклических подгрупп, то рассмотрение модели дает, прежде всего, 6 диэдральных групп с n = 5 и 10 диэдральных групп с n = 3. Первые имеют в качестве главных осей диагонали икосаэдра, вто­рые - диагонали додекаэдра, осями второго порядка для них служат 15 перекрестных линий. Можно было бы по аналогии с этим предположить наличие 15 диэдральных групп с    n = 2, т. е. квадратичных групп. Однако для квад­ратичных групп нет разницы между главной осью и ося­ми второго порядка. Поэтому мы получаем всего 5 попарно сопряженных квадратичных подгрупп.        Это соответствует разбиению 15 перекрестных линий на 5 прямо­угольных триад. Наличием этих триад и обусловлено то свойство группы икосаэдра, которое будет для нас важнее всего в дальнейшем. Поскольку существует лишь 5 пря­моугольных триад, построенных из 15 перекрестных ли­ний, эти триады должны сохраняться не только соответ­ствующей квадратичной группой, но и целой совокуп­ностью из 12 вращений. Можно показать, что они обра­зуют тетраэдральную группу. В самом деле, 8 вершин куба, соответствующих прямоугольной триаде, содержат­ся среди 20 вершин додекаэдра. Таким образом, в икосаэдральной группе содержатся 8 вращений пе­риода 3, которые вместе с квадратичной группой образу­ют группу тетраэдра. Ясно также, что эти 5 тетраэдральных групп сопряжены друг другу.

        Оставляя опять без доказательства то, что перечис­ленными подгруппами исчерпываются все подгруппы группы икосаэдра, укажем только изоморфизм, возникаю­щий из наличия 5 упомянутых выше прямоугольных три­ад. Можно показать, что каждое вращение периода 5 циклически представляет эти триады в определенном порядке.