Куб и октаэдр

В случае октаэдральной группы мы имеем, как уже говорилось  выше,   по  существу  ту  же   самую  основную конфигурацию, что и в случае тетраэдра. Мы только отметим на сфере 12 точек, соответствующих серединам ребер октаэдра, и построим 6 диаметров, соединяющих попарно эти точки. Эти 6 диаметров мы назовем пере­крестными линиями нашей фигуры.

Разумеется, октаэдральная группа содержит 12 вра­щений тетраэдральной группы и притом, как мы можем предполагать заранее, в качестве нормальной подгруппы. Это следует из того, что 8 вершин куба единственным об­разом распределяются между тетраэдром и сопряженным тетраэдром, и это распределение сохраняется двенадцатью тетраэдральными вращениями. Вдобавок к этому возни­кают еще 12 вращений, переставляющих тетраэдр с его сопряженным, так что группа октаэдра содержит 24 эле­мента. Это 6 попарно сопряженных вращений на угол p вокруг перекрестных линий, затем 6 вращений на углы ±p/2 (следовательно, периода 4) вокруг трех диагоналей октаэдра. Они также образуют один класс сопряженных элементов, поскольку 4 вращения вокруг фиксированной диагонали образуют нормальную подгруппу диэдральной группы из 8 элементов. Аналогично два вращения перио­да 3 вокруг данной диагонали куба сопряжены друг другу и всем остальным вращениям периода 3, так как диаго­наль   куба   является   главной   осью  диэдральной   группы порядка 6. Вращения периода 2, напротив, распадаются на 2 класса в зависимости от того, является ли их ось диагональю октаэдра или перекрестной линией. Разложе­ние группы октаэдра получается переходом к тетраэдраль­ной, а затем к квадратичной подгруппе. Других разложе­ний не существует, поскольку мы уже перечислили все возможные подгруппы октаэдральной группы.