Тетраэдр

При любом вращении, переводящем правильный тетраэдр в себя, двойственный   к нему тетраэдр также переходит в себя. Восемь вершин этих двух тетраэдров образуют куб. Если же отметить на сфере 6 точек, соответствующих серединам ребер тетраэдра, то получим 6 вершин правильного октаэдра. Мы видим, таким образом, тесную связь между группами вращений тетраэдра и октаэдра, которую и намереваемся изучить. Дополним нашу фигуру, добавив ортогональную триаду диагоналей октаэдра и 4 главных диагонали куба (проходящие через центр сферы).

Применяя теперь изложенный принцип, мы сразу видим, что группа тетраэдра состоит из 12 вращений. В самом деле, четыре вершины тетраэдра сопряжены друг другу и каждая из них сохраняется тремя вращениями - тождественным и двумя поворотами периода 3 вокруг диагоналей куба, проходящих через вершины тетраэдра. Мы видим также, что 8 из 12 вращений име­ют период 3. Из них две четверки сопряжены между собой, а именно те, которые представляют собой поворот в од­ном направлении на угол 2p/3 (или 4p/3) около вершины тетраэдра, которую они оставляют неподвижной. К этим 8 вращениям и единице нужно добавить еще 3 сопряженных друг другу вращения периода 2. Эти три вращения вокруг перпендикулярных диагоналей октаэдра сопряжены, так как переводятся друг в друга любым вращением периода 3. Вместе с единицей эти три вра­щения образуют квадратичную группу. Мы заключаем отсюда, что квадратичная группа, полученная таким образом, нормальна в группе тетраэдра. Это следует из того, что 3 сопряженных друг другу диагонали октаэдра переходят в себя при всех вращениях из квадратичной группы и только при них.

        Разложение группы тетраэдра мы можем получить, рассматривая квадратичную подгруппу и поступая далее, как сказано ранее. Опустим доказательство того, что других разложений не существует и что помимо квадратичной подгруппы в группе тетра­эдра нет подгрупп, отличных от циклических, порождае­мых повторением одного и того же вращения.

        Посмотрим теперь, каким образом четыре диагонали куба (которые мы кратко обозначим 1, 2, 3, 4) преобра­зуются тетраэдральными вращениями. Прежде всего, оче­видно, что ни одно такое вращение (кроме единичного) не оставляет на месте все 4 диагонали куба. Таким обра­зом, разным вращениям соответствуют разные переста­новки четырех диагоналей куба. Тем самым, группа тет­раэдральных вращений просто изоморфна группе соответ­ствующих перестановок диагоналей куба.

Мы видим, в частности, что вращениям из нормаль­ной квадратичной подгруппы соответствуют следующие перестановки четырех диагоналей:

                           1 , 2 , 3,  4;                  3 , 4 , 1 , 2;

                            4 , 3 , 2 , 1;                  2 , 1 , 4 , 3;