Группы в функциональных уравнениях

Вспомним, что, решая первое уравнение, мы выполнили подстановку х › 1-х. При этом 1-х › х. То есть две функции g₁(х)=х и g₂(х)=1-х по отношению к операции композиции ведут себя так g₁* g₂ =g₂ * g₁,  g₂ * g₂=g₁ , g₁ * g₁ = g₁.

Таким образом, система функции G={g1,g2} обладает следующими свойствами:

она замкнута относительно композиции;

среди этих функций есть тождественное отображение g₁(х)=х;

у каждой функции есть обратная g₁^-1=g_1, g₂^-1=g₂ .

Группы дали нам возможность решить эти уравнения.

Множество G с определенной в нем операцией умножения, удовлетворяющей условию ассоциативности, условию существования нейтрального элемента и условие существования обратного элемента к каждому элементу, называется группой. Можно рассмотреть метод решения функциональных уравнений с использованием понятия группы функций.

В функциональном уравнении а₁f(g₁)+ а₂f(g₂)+...+ а_nf(g_n)⁼b выражения, стоящие под  знаком неизвестной функции f(х) являются элементами группы G, состоящей из n функций : g₁(х)=х; g₂(х),... ,gn(х), причем коэффициенты уравнения а₁,а₂,…, аn, b- некоторые функции от х. Заменим х › g₂(х).